哥德巴赫猜想 Goldbach Conjecture

当年徐迟的一篇报告文学，中国人知道了陈景润和哥德巴赫猜想。

那么，什么是哥德巴赫猜想呢？

哥德巴赫猜想大致可以分为两个猜想：

■1.每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；

■2.每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。

■哥德巴赫相关[

哥德巴赫（Goldbach ]C.，1690.3.18~1764.11.20）是德国数学家；出生于格奥尼格斯别尔格（现名加里宁城）；曾在英国牛津大学学习；原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族,所以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师。

1725年，到了俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；1725年~1740年担任彼得堡科学院会议秘书；1742年，移居莫斯科，并在俄国外交部任职。

[编辑本段]【哥德巴赫猜想的来源】

1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。

在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。

他写道：

"我的问题是这样的：

随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和：

77=53+17+7；

再任取一个奇数，比如461，

461=449+7+5，

也是这三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。

这样，我发现：任何大于7的奇数都是三个素数之和。

但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是一个别的检验。"

欧拉回信说：“这个命题看来是正确的，但是他也给不出严格的证明。

同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和，但是这个命题他也没能给予证明。”

不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。

事实上，任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式：

2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4.

若欧拉的命题成立，则偶数2(N-1)可以写成两个素数之和，于是奇数2N+1可以写成三个素数之和，从而，对于大于5的奇数，哥德巴赫的猜想成立。

但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。

因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。

现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想

[编辑本段]【哥德巴赫猜想的小史】

1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除的数）之和。

如6＝3＋3，12＝5＋7等等。

公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。

叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。

从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。

当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等。

有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。

但严格的数学证明尚待数学家的努力[。

从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。

200年过去了，没有人证明它。

哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的"明珠"。

人们对哥德巴赫猜想难题的热情，历经两百多年而不衰。

世界上许许多多的数学工作者，殚精竭虑，费尽心机，然而至今仍不得其解。

到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。

1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大偶数n（不小于6）的偶数都可以表示为九个质数的积加上九个质数的积，简称9+9。

这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了哥德巴赫猜想。

目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。

”通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2”的形式。

■哥德巴]赫猜想证明进度相关

在陈景润之前，关于偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称“s + t”问题)之进展情况如下:

1920年，挪威的布朗证明了“9 + 9”。

1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。

1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。

1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。

1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。

1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。

1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+ c”，其中c是一很大的自然数。

1956年，中国的王元证明了“3 + 4”。

1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。

1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”， 中国的王元证明了“1 + 4”。

1965年，苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。

1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。

1978年，中国的陈景润证明了：

`````````````p-1`````````1````````N

r(N)=《7.8∏——∏(1- ————)——————

.............P-2.......(P-1)^2.（lnN）^2

.......P>2,P|N...P>2

其中：r(N)为将偶数表为两个素数之和n=p+p`的表示个数，即：偶数

中符合哥德巴赫猜想的素数的个数。

公式给出了数量小于的界限值。

∏表示各参数连乘，ln表示取自然对数，^2表示取平方数。

第一个∏的参数P是大于2的且属于该偶数的素因子的素数。

第二个∏的参数P是大于2且不大于√N的素数。

例如：10=3+7=5+5=7+3；r(10)=3。

12=5+7=7+5；r(12)=2。

已知:

第一个∏的数值是分子大于分母,大于1。

第二个∏的数值是孪生素数的常数,其2倍数就=1.320..大于1。

N/(lnN)是计算N数内包含的素数的个数，(1/lnN)素数与数的比例。

1978年后，中国有不少人论述了：

（N数内包含的素数的个数）与（素数与数的比例）的乘积大于一。

由：r(N)==(大于1的数)(大于1的数)(大于1的数)==大于1的数

可证明偶数N表示为两个素数之和的表示法个数r(N)不会小于1。

值得推荐的论述为

N数内素数的个数，约等于(0.5)倍N平方根数内奇素数的个数与N平方

根数的乘积。

因为：N的平方根数内奇素数的个数远多于2个时。

就有: (0.5)(大于2的数)(√N)/[(√N)/(大于2的数)]=大于1。

[编辑本段]【哥德巴赫猜想意义】

“用当代语言来叙述，哥德巴赫猜想有两个内容，第一部分叫做奇数的猜想，第二部分叫做偶数的猜想。

奇数的猜想指出，任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和。

偶数的猜想是说，大于等于4的偶数一定是两个素数的和。

”（引自《哥德巴赫猜想与潘承洞》）

关于哥德巴赫猜想的难度我就不想再说什么了，我要说一下为什么现代数学界对哥德巴赫猜想的兴趣不大，以及为什么中国有很多所谓的民间数学家对哥德巴赫猜想研究兴趣很大。

事实上，在1900年，伟大的数学家希尔伯特在世界数学家大会上作了一篇报告，提出了23个挑战性的问题。

哥德巴赫猜想是第八个问题的一个子问题，这个问题还包含了黎曼猜想和孪生素数猜想。

现代数学界中普遍认为最有价值的是广义黎曼猜想，若黎曼猜想能够成立，很多问题就都有了答案，而哥德巴赫猜想和孪生素数猜想相对来说比较孤立，若单纯的解决了这两个问题，对其他问题的解决意义不是很大。

所以数学家倾向于在解决其它的更有价值的问题的同时，发现一些新的理论或新的工具，“顺便”解决哥德巴赫猜想。

]例如：一个很有意义的问题是：素数的统一公式（素数普遍公式）。

若这个问题解决，[关于素数的问]题应该说就不是什[么问题了。

为什么民间数学家们如此醉心于哥猜，而不关心黎曼猜想之类的更有意义的问题呢？

一个重要的原因就是，黎曼猜想对于没有学过数学的人来说，想读明白是什么意思都很困难。

而哥德巴赫猜想对于小学生来说都能读懂。

数学界普遍认为，这两个问题的难度不相上下。

民间数学家解决哥德巴赫猜想大多是在用初等数学来解决问题，一般认为，初等数学无法解决哥德巴赫猜想。

退一步讲，即使那天有一个牛人，在初等数学框架下解决了哥德巴赫猜想，有什么意义呢？这样解决，恐怕和做了一道数学课的习题的意义差不多了。

当年柏努力兄弟向数学界提出挑战，提出了最速降线的问题。

牛顿用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程，约翰·柏努力用光学的办法巧妙的也解出最速降线方程，雅克布·柏努力用比较麻烦的办法解决了这个问题。

虽然雅克布的方法最复杂，但是在他的方法上发展出了解决这类问题的普遍办法——变分法。

现在来看，雅克布的方法是最有意义和价值的。

同样，当年希尔伯特曾经宣称自己解决了费尔马大定理，但却不公布自己的方法。

别人问他为什么，他回答说：“这是一只下金蛋的鸡，我为什么要杀掉它？”的确，在解决费尔马大定理的历程中，很多有用的数学工具得到了进一步发展，如椭圆曲线、模形式等。

所以，现代数学界在努力的研究新的工具，新的方法，期待着哥德巴赫猜想这个“下金蛋的鸡”能够催生出更多的理论。

]

[编辑本段]【报告文学：哥德巴赫猜想】

一 、

命px(1,2)为适合下列条件的素数p的个数： x-p=p1或x-p=p2p3 其中p1,p2,p3都是素数。

〔这是不好懂的；读不懂时，可以跳过这几行。

〕 用x表一充分大的偶数。

p-1 1

命cx=ii --- ii 1- -----

p\x p-2 p<2 (p-1)2

p>2

对于任意给定的偶数h及充分大的X，用Xh（1，2）表示满足下面条件的素数p的个数：p≤x,p+h=p1或h+p=p2p3其中p1,p2,p3都是素数。

本文的目的在于证明并改进作者在文献[ 10] 内所提及的全部结果，现在详述如下。

二、

以上引自一篇解析数论的论文。

这一段引自它的“（一）引言”，提出了这道题。

它后面是“（二）几个引理”，充满了各种公式和计算。

最后是“（三）结果”，证明了一条定理。

这篇论文，极不好懂。

即使是著名数学家，如果不是专门研究这一个数学的分枝的，也不一定能读懂。

但是这篇论文已经得到了国际数学界的公认，誉满天下。

它所证明的那条定理，现在世界各国一致地把它命名为“陈氏定理”，因为它的作者姓陈，名景润。

他现在是中国科学院数学研究所的研究员。

陈景润是福建人，生于一九三三年。

当他降生到这个现实人间时，他的家庭和社会生活并没有对他呈现出玫瑰花朵一般的艳丽色彩。

他父亲是邮政局职员，老是跑来跑去的。

当年如果参加了国民党，就可以飞黄腾达，但是他父亲不肯参加。

有的同事说他真是不识时务。

他母亲是一个善良的操劳过甚的妇女，一共生了十二个孩子。

只活了六个、其中陈景润排行老三。

上有哥哥和姐姐；下有弟弟和妹妹。

孩子生得多了，就不是双亲所疼爱的儿女了。

他们越来越成为父母的累赘——多余的孩子，多余的人。

从生下的那一天起，他就像一个被宣布为不受欢迎的人似的，来到了这人世间。

他甚至没有享受过多少童年的快乐。

母亲劳苦终日，顾不上爱他。

当他记事的时候，酷烈的战争爆发。

日本鬼子打进福建省。

他还这么小，就提心吊胆过生活。

父亲到三元县的三明市一个邮政分局当局长。

小小邮局，设在山区一座古寺庙里。

这地方曾经是一个革命根据地。

但那时候，茂郁山林已成为悲惨世界。

所有男子汉都被国民党匪军疯狂屠杀，无一幸存者。

连老年的男人也一个都不剩了。

剩下的只有妇女。

她们的生活特别凄凉。

花纱布价钱又太贵了；穿不起衣服，大姑娘都还裸着上体。

福州被敌人占领后，逃难进山来的人多起来。

这里飞机不来轰炸，山区渐渐有点儿兴旺。

却又迁来了一个集中营。

深夜里，常有鞭声惨痛地回荡；不时还有杀害烈士的枪声。

第二天，那些戴着镣铐出来劳动的人，神色就更阴森了。

陈景润的幼小心灵受到了极大的创伤。

他时常被惊慌和迷惘所征服。

在家里并没有得到乐趣，在小学里他总是受人欺侮。

他觉得自己是一只丑小鸭。

不，是人，他还是觉得自己也是一个人。

只是他瘦削、弱小。

光是这付窝囊样子就不能讨人喜欢。

习惯于挨打，从来不讨饶。

这更使对方狠狠揍他，而他则更坚韧而有耐力了。

他过分敏感，过早地感觉到了旧社会那些人吃人的现象。

他被造成了一个内向的人，内向的性格。

他独独爱上了数学。

不是因为被压，他只是因为爱好数学，演算数学习题占去了他大部分的时间。

数学上，还有另一个非常有名的“（1+1）”，它就是著名的哥德巴赫猜想。

尽管听起来很神奇，但它的题面并不费解，只要具备小学三年级的数学水平就就能理解其含义.原来，这是18世纪时，德国数学家哥德巴赫偶然发现，每个不小于6的偶数都是两个素数之和。

例如3+3=6； 11+13=24。

他试图证明自己的发现，却屡战屡败。

1742年，无可奈何的哥德巴赫只好求助当时世界上最有权威的瑞士数学家欧拉，提出了自己的猜想。

欧拉很快回信说，这个猜想肯定成立，但他无法证明。

有人立即对一个个大于6的偶数进行了验算，一直算到了330000000，结果都表明哥德巴赫猜想是对的，但就是不能证明。

于是这道每个不小于6的偶数都是两素数之和[简称（1+1）]的猜想，就被称为“哥德巴赫猜想”，成为数学皇冠上一颗可望不可即的“明珠”。

19世纪20年代，挪威数学家布朗用一种古老的数学方法“筛法”证明，每一个大于6的偶数可以分解为一个不超过9个素数之积和另个不超过9个素数之积的和，简称“（9+9）”。

从此，各国数学家纷纷采用筛法去研究哥德巴赫猜想。

1956年底，已先后写了四十多篇论文的陈景润调到科学院，开始在华罗庚教授指导下专心研究数论。

1966年5月，他象一颗璀璨的明星升上了数学的天空，宣布他已经证明了（1＋2）。

1973年，关于（1+1）的简化证明发表了，他的论文轰动了全世界数学界。

“（1+2）”即“大偶数都能表示为一个素数及一个不超过二个素数的积之和”，被国际公认为“陈景润定理”。