【等腰三角形三边有什么特殊的性质】

定义：有两边相等的三角形是等腰三角形等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两个底角相等. （简写成“等边对等角”）2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）3.等腰三角形的两底角的平分线相等.（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等.5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半6等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）7等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴8.等腰三角形的判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）等边三角形等边三角形的定义：有三边都相等的三角形是等边三角形.等边三角形是特殊的等腰三角形.等边三角形的性质：1）等边三角形的内角都相等，且为60度2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线等边三角形的判定：（首先考虑判断三角形是等腰三角形）（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形等边三角形的判定：（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形（4）等边三角形是锐角三角形。

垂直平分线是怎么判定的？求判定定理,即什么情况下能证明一条线是

垂直平分线判定①利用定义.②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）尺规作法方法之一：（用圆规作图）1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段.2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线.得到两个交点（两交点交于线段的两侧）.3、连接这两个交点.原理：等腰三角形的高垂直平分底边.方法之二：1、连接这两个交点.原理：两点成一线.等腰三角形的性质：1、三线合一 （ 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合.）2、等角对等边（如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等.）3、等边对等角（在同一三角形中，如果两条边相等，则两个边的对角相等，即等边对等角.）作线段的垂直平分线的三种方法1：折纸法（折叠法） 2：度量法 3：尺规作图法 予人玫瑰之手 经久犹有余香。

等腰三角形的知识点一个知识点一个题

知识点1、等腰三角形的性质（1） 对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴.（2） 三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（3） 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等.提示：“三线合一”是指对应的角平分线、中线、高线在画图时实际上只是一条线段，即是一条线段既是顶角的平分线，又是底边上的中线，还是底边上的高，不能混淆.知识点2、等腰三角形的判定定理定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）.提示：（1）定理题设中的两个角必须是同一个三角形中的两个内角，不能出现在两个三角形中；（2）结论中的两条边应是这两个内角的“对边”，这种对应关系不能混淆；（3）此定理的作用在于证明一个三角形为等腰三角形.知识点3、等边三角形的性质与判定1.等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°.2.等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且在每条边上都有“三线合一”.因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，而等腰三角形（非等边三角形）只有一条对称轴.3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.拓展：等边三角形是一种特殊的三角形，容易知道等边三角形的三条高（或三条中线、三条角平分线）都相等.知识点4、等腰三角形性质的应用等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：（1） 等腰三角形两底角的平分线相等；（2）等腰三角形两腰上的中线相等；（3）等腰三角形两腰上的高相等；（4）等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.。

等腰三角形的性质教学设计

教学设计思路 本小节“等腰三角形”安排在第十二章“轴对称”的第三节，根据新的教育理念，以轴对称为切入点，改变了以全等三角形为切入点的做法。

在学生动手操作的基础上，通过观察猜想，自主探究，证明应用等方式学习、获取新知。完成了从感性到理性的知识发生发展的认知过程。

教学目标1.知识与技能 说出等腰三角形、总结出等腰三角形性质，并会进行有关的计算；能运用等腰三角形性质证明两角相等的问题；2.过程与方法 经历折叠后剪纸、展开后得到等腰三角形的过程，体验等腰三角形的对称性；通过用等腰三角形性质进行证明或计算，体会几何证题的基本方法：分析法和综合法；3.情感态度与价值观 学生对图形的观察、发现，激发起好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验、建立学习的自信心；通过合作交流，培养团结协作的精神。重点和难点 探索等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质。

（这两个性质对于平面几何中的计算，以及今后的证明尤为重要，故确定为重点） 等腰三角形中关于底和腰，底角和顶角的计算问题。（由于等腰三角形底和腰，底角和顶角性质特点很容易混淆，而且它们在用法和讨论上很有考究 ，只能从练习实践中获取经验，故确定为难点。）

教具学具准备：等腰三角形模型，矩形纸片，剪刀，直尺，三角板 课时安排：1课时 教与学互动设计：（一）实践观察，认识等腰三角形 ①复习提问：向同学们出示精美的建筑物图片 问题什么是轴对称图形？这些图片中有轴对称图形吗？ ②引入新课：再次通过精美的建筑物图片，找出里面的等腰三角形。 相关概念： 定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形 边：等腰三角形中，相等的两条边叫做腰， 角：等腰三角形中，两腰的夹角叫做顶角， 腰和底边的夹角叫做底角. ③提出问题：a.等腰三角形是轴对称图形？ b.等腰三角形具备哪些性质？如何证明？ 探究 （1）把一张长方形的纸片对折，并剪下阴影部分（课本图12.3—1），再把它展开，得到一个什么图形？（2）上述过程中得到的△ABC有什么特点？（3）除了剪纸的方法，还可以怎样作（画）出一个等腰三角形？学生动手剪纸，观察。

教师在学生观察的同时提出问题。学生讨论问题（3），教师在学生充分发表自己的想法基础上给出画图方法，并画出图形。

（二）探索等腰三角形的性质 问题 （1）活动1中剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？（2）把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，（3）你能猜一猜等腰三角形有什么性质吗？说说你的猜想。学生动手折纸，观察，找出重合的线段和角，学生说出自己的猜想。

教师在学生的猜想基础上，引导学生观察、完善，归纳出性质1和性质2。（三）等腰三角形的性质定理的证明 问题 （1）性质1（等腰三角形的两个底角相等）的条件和结论分别是什么？（2）用数学符号如何表达条件和结论？（3）如何证明？？（分别作顶角的平分线、底边的中线、高线） （4）受性质1的证明的启发，你能证明性质2（等腰三角形角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）吗？学生分析性质1的条件和结论，并转换成数学符号。

在△ABC中，AB =AC， 点 D在BC上 1、∵AD ⊥ B C ∴∠ = ∠ ，____= 。 2、∵AD是中线， ∴ ⊥ ，∠ =∠ 。

3、∵AD是角平分线， ∴ ⊥ ， = 。教师纠正和补充学生的发言，引导学生利用全等三角形的性质，根据对称寻找辅助线的添加方法。

学生模仿证明性质2。本次活动中，教师应重点关注：（1）学生语言的规范性；（2）学生的应用意识，模仿能力；（3）学生在活动中发表个人见解的勇气。

（四）等腰三角形性质定理的运用 例一：在等腰△ABC中，AB =AC， ∠A = 50°， 则∠B =_____,C=______ 变式练习：1、在等腰中，∠A =50°则∠B =___，∠C=___ 2、在等腰中，∠A =100°， 则∠B =___，∠C=___ 例二：在等腰△ABC中，AB =5,AC = 6，则 △ABC的周长=_______ 变式练习：在等腰△ABC中，AB =5,AC = 12，则 △ABC的周长=______ 例三： 在△ABC中，点D在BC上，给出4个条件：①AB=AC ②∠BAD=∠CAD ③AD⊥BC ④BD=CD，以其中2个条件作题设，另外2个条件作结论，可写出几个正确命题？①② ③④ 运用等腰三角形的“三 ①③ ②④ 线合一”性质 ①④ ②③ ②③ ①④ 运用全等三角形的判定 ②④ ①③ 和性质（不能运用“三线合 ③④ ①② 一” ） 例4、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。教师参与讨论，认真听取学生的分析，引导学生找出角之间的关系，书写解答过程。

本次活动中，教师应重点关注：（1）学生能否正确应用等腰三角形的性质解决问题；（2）学生应用所学知识的应用意识。（五）反馈练习 （1）等腰三角形的一个角是36°，它的另外两个角是________.（2）等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角是_________.（3）如图，在△ABC中AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数。