关于数学平面镶蔌的小论文

把一些纸整齐地叠放好，用剪刀一次即可剪出多个全等的三角形.用这些全等的三角形可镶嵌平面.这是因为三角形的内角和是180°，用6个全等的三角形即可镶嵌出一个平面.如图1.

用全等的三角形镶嵌平面，镶嵌的方法不止一种，如图2.

全等的任意四边形能镶嵌平面

仿上面的方法可剪出多个全等的四边形，用它们可镶嵌平面.这是因为四边形的内角和是360°，用4个全等的四边形即可镶嵌出一个平面.如图3.其实四边形的平面镶嵌可看成是用两类全等的三角形进行镶嵌.如图4.

.全等的特殊五边形可镶嵌平面

圣地亚歌一位家庭妇女，五个孩子的母亲玛乔里·赖斯，对平面镶嵌有很深的研究，尤其对五边形的镶嵌提出了很多前所未有的结论.1968年克什纳断言只有8类五边形能镶嵌平面，可是玛乔里·赖斯后来又找到了5类五边形能镶嵌平面，在图5的五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，2∠A+∠D=2∠C+∠D=360°，a=e,a+e=d.图6是她于1977年12月找到的一种用此五边形镶嵌的方法.用五边形镶嵌平面，是否只有13类，还有待研究.

全等的特殊六边形可镶嵌平面

1918年，莱因哈特证明了只有3类六边形能镶嵌平面.图7是其中之一.在图7的六边形ABCDEF中，∠A+∠B+∠C=360°，a=d.

5.七边形或多于七边的凸多边形，不能镶嵌平面.

用同一种正多边形镶嵌

只有正三角形、正方形和正六边形可镶嵌平面，用其它正多边形不能镶嵌平面.

用多种正多边形镶嵌

例如：用正三角形和正六形的组合进行镶嵌.设在一个顶点周围有m个正三角形的角，有n个正六边形的角.由于正三角形的每个角是60°，正六边形的每个角是120°.所以有

m·60°+n·120°=360°，即m+2n=6.

这个方程的正整数解是m=4 n=1或m=2 n=2

可见用正三角形和正六边形镶嵌，有两种类型，一种是在一个顶点的周围有4个正三角形和1个正六边形，另一种是在一个顶点的周围有2个正三角形和2个正六边形.如图8、图9.

读者可探究用其它两种正多边形或两种以上的正多边形进行镶嵌的问题.

关于数学平面镶蔌的小论文

把一些纸整齐地叠放好，用剪刀一次即可剪出多个全等的三角形.用这些全等的三角形可镶嵌平面.这是因为三角形的内角和是180°，用6个全等的三角形即可镶嵌出一个平面.如图1. 用全等的三角形镶嵌平面，镶嵌的方法不止一种，如图2. 全等的任意四边形能镶嵌平面 仿上面的方法可剪出多个全等的四边形，用它们可镶嵌平面.这是因为四边形的内角和是360°，用4个全等的四边形即可镶嵌出一个平面.如图3.其实四边形的平面镶嵌可看成是用两类全等的三角形进行镶嵌.如图4. .全等的特殊五边形可镶嵌平面 圣地亚歌一位家庭妇女，五个孩子的母亲玛乔里·赖斯，对平面镶嵌有很深的研究，尤其对五边形的镶嵌提出了很多前所未有的结论.1968年克什纳断言只有8类五边形能镶嵌平面，可是玛乔里·赖斯后来又找到了5类五边形能镶嵌平面，在图5的五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，2∠A+∠D=2∠C+∠D=360°，a=e,a+e=d.图6是她于1977年12月找到的一种用此五边形镶嵌的方法.用五边形镶嵌平面，是否只有13类，还有待研究. 全等的特殊六边形可镶嵌平面 1918年，莱因哈特证明了只有3类六边形能镶嵌平面.图7是其中之一.在图7的六边形ABCDEF中，∠A+∠B+∠C=360°，a=d. 5.七边形或多于七边的凸多边形，不能镶嵌平面. 用同一种正多边形镶嵌 只有正三角形、正方形和正六边形可镶嵌平面，用其它正多边形不能镶嵌平面. 用多种正多边形镶嵌 例如：用正三角形和正六形的组合进行镶嵌.设在一个顶点周围有m个正三角形的角，有n个正六边形的角.由于正三角形的每个角是60°，正六边形的每个角是120°.所以有 m·60°+n·120°=360°，即m+2n=6. 这个方程的正整数解是m=4 n=1或m=2 n=2 可见用正三角形和正六边形镶嵌，有两种类型，一种是在一个顶点的周围有4个正三角形和1个正六边形，另一种是在一个顶点的周围有2个正三角形和2个正六边形.如图8、图9. 读者可探究用其它两种正多边形或两种以上的正多边形进行镶嵌的问题。

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镶嵌图形-关于平面镶嵌的问题围绕一点是用一种图形,两种图形和三

平面镶嵌： 正多边形有无限多种，正三角形、正方形、正五边形等等。

其实，任何边数的正多边形都存在，因为可以设想将圆周n等分（n≥3），顺次连接相邻的分点，那么得到的内接多边形就是正n边形。 我们的问题是用正多形来镶嵌平面，也就是说取正多边形，彼此不重叠地铺放在地面上，不准有任何地面露出来。

显然，用同样大小的正方形、正三角形、正六边形，各自都可以铺满平面。 然而，如果这种镶嵌不限于用同一种正多边形，只要求同一种正多边形是有同样尺寸的。

那么怎样寻求其它种类的镶嵌方案呢？ 一、如果能实现平面的镶嵌，镶嵌图的每个顶点都必须是集中了几个正多边形的顶角。 于是在每一顶点集中的顶角刚好拼成一个圆周角。

因为每一个正n边形的内角为倍的直角，即，因此，要找到这样的拼图，须找到正整数n, p,q,r，……，使 这是个奇怪的方程式。其奇怪之处在于未知数的个数未确定，但限制未知数必须是不小于3的整数。

这个方程不只有一组解，但是能有多少组解呢？ 让我们先作一点分析。假定有m个大于3的整数满足方程，记为（n1,n2,n3。

nm），即 于是有 即 由于n1,n2，…nm每个都不小于3，于是由，知道必有，故m≤6 。 又由于一个顶点处至少要有三个角拼在一起才行，否则必有超过或等于180°的角，所以m≥3。

至此，我们的解答中，每一组解中未知数个数只能是3,4,5,6之中。现在看看怎样求解。

令n=3，则 令p=3，则 令q=3，则 令r=3，则 令s=3，则 令t=3，则 这就是说，我们找到了6个数，n=3, p=3, q=3, r=3, t=3，这组解记为（3,3,3,3,3）。 请看图中的第二个图，这就是这组解相应的镶嵌图。

注意上面令s=3时，注定了t必须得3。因此上面求解中进行到r=3之后，有方程 （1）令s=4，试试则有 于是t=3,4,5，…，都会使这样的方程的右端成为负数，这是不可能的，故在n=3, p=3, q=3,r=3之后，s=4是不可能的。

（2）令s=5，试试，这时 这时，若t=3，则 u取任何大于3的正整数皆使以后这样的方程右端为负数，故令s=5试验是失败的。这又说明s=5是不可能的。

（3）令s=6，这时正好有。对s>6不用试了，因为这将使以后这样的方程右端为负数。

至此得另一组解（3,3,3,3,6）。 二、上面的求解方程虽然显的笨拙，但这是有用的。

把各种可能发生的情况都逐一考虑，只要问题本身是有有限种解答，那么都举出来研究，这叫“穷举法”。 继续上面的推理，已经考虑了解答中出现六个3的情况，及出现四个3与一个6的情形。

下面考虑三个3的情形，经过推导，容易得出解答（3,3,3,4,4），含三个3的只有这一种可能。 接着考虑含有两个3的解答，可得（3,3,6,6）,(3,3,4,12)。

若考虑含有一个3的解答，得（3,7,42）,(3,8,24),(3,9,18),(3,10,15),(3,12,12) 下面列出17组解答： （3,7,42） (3,8,24) (3,9,18) (3,10,15) (3,12,12) (4,5,20) (4,6,12) (4,8,8) (5,5,10) (6,6,6) (3,3,4,12) (3,3,6,6) (3,4,4,6) (4,4,4,4) (3,3,3,4,4) (3,3,3,3,6) (3,3,3,3,3,3) 有书记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出的。 实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地给制出了这些图样，真是令人叹为观止。

数学——平面镶嵌

1、用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片， 这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。

2、用相同的正多边形铺地板.对于给定的某种正多边形，它能否拼成一个平面图形，而不留一点空隙？显然问题的关键在于分析能用于完整铺平地面的正多边形的内角特点.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就铺成一个平面图形.事实上，正n边形的每一个内角为（n-2）180，要求k个正n边形各有一个内角拼于一点，恰好覆盖地面，这样360°=k(n-2)180/n，而k是正整数，所以n只可能为3,4,6.因此，用相同的正多边形地板砖铺地面，只有正三角形，正四边形，正六边形的地砖可以用.我们知道，任意四边形的内角和都等于360°.所以用一批形状大小完全相同但不规则的四边形瓷砖也可以铺成无空隙的地板.用任意相同的三角形可以铺满地面吗？请同学们拼拼看. 3、用两种或两种以上的正多边形拼地板我们已知知道.有些相同的正多边形能够铺满地面，而有些则不行.实际上我们还看到有不少用两种以上边长相等的正多边形组合成的平面图案.如教材上所列的几种情况.为什么这些正多边形组合能够密铺地面？这个问题实质上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成周角”的问题. 我们知道全等的任意三角形、四边形都可以进行平面镶嵌（如图1、2）。而大于等于五边的只有特殊多边形才能平面镶嵌。

凸多边形能进行平面镶嵌的边数都少于7边。多少年来，寻找特殊的五边形进行平面镶嵌就成了许多数学家的梦想。

让几个角相加等于360°。说起倒轻松，还是让我们回来看看为什么全等的任意三角形、四边形都可以进行平面镶嵌吧。

图1是由全等的任意三角形组成的平面镶嵌，仔细观察我们发现，这个图形是由三角形1、2组成的平行四边形进行平移得到的。我们把它叫做特征多边形。

图2是全等的任意四边形的平面镶嵌的特征多边形。研究发现，这些特征多边形的对应边是平行的。

换句话说就是：如果我们能把特征多边形进行适当的全等分割就能得到可以进行平面镶嵌的多边形。 如图3，正六边形是一个可以进行平面镶嵌特征多边形把它如图三等分，就可以得到可以进行平面镶嵌的五边形。

如图4，是一个可以进行平面镶嵌特征多边形把它如图四等分就可以得到可以进行平面镶嵌的五边形。这是圣地亚哥的妇女玛乔里•赖斯1977年找到的。

如果允许有一组对边平行可以进行平面镶嵌的图形就太多了木工师傅就是把这种木料一块一块拼成大木板的。

数学——平面镶嵌

1、用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，

这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。

2、用相同的正多边形铺地板.对于给定的某种正多边形，它能否拼成一个平面图形，而不留一点空隙？显然问题的关键在于分析能用于完整铺平地面的正多边形的内角特点.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就铺成一个平面图形.事实上，正n边形的每一个内角为（n-2）180，要求k个正n边形各有一个内角拼于一点，恰好覆盖地面，这样360°=k(n-2)180/n，而k是正整数，所以n只可能为3,4,6.因此，用相同的正多边形地板砖铺地面，只有正三角形，正四边形，正六边形的地砖可以用.我们知道，任意四边形的内角和都等于360°.所以用一批形状大小完全相同但不规则的四边形瓷砖也可以铺成无空隙的地板.用任意相同的三角形可以铺满地面吗？请同学们拼拼看.

3、用两种或两种以上的正多边形拼地板我们已知知道.有些相同的正多边形能够铺满地面，而有些则不行.实际上我们还看到有不少用两种以上边长相等的正多边形组合成的平面图案.如教材上所列的几种情况.为什么这些正多边形组合能够密铺地面？这个问题实质上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成周角”的问题.

我们知道全等的任意三角形、四边形都可以进行平面镶嵌（如图1、2）。而大于等于五边的只有特殊多边形才能平面镶嵌。凸多边形能进行平面镶嵌的边数都少于7边。多少年来，寻找特殊的五边形进行平面镶嵌就成了许多数学家的梦想。

让几个角相加等于360°。说起倒轻松，还是让我们回来看看为什么全等的任意三角形、四边形都可以进行平面镶嵌吧。图1是由全等的任意三角形组成的平面镶嵌，仔细观察我们发现，这个图形是由三角形1、2组成的平行四边形进行平移得到的。我们把它叫做特征多边形。图2是全等的任意四边形的平面镶嵌的特征多边形。研究发现，这些特征多边形的对应边是平行的。换句话说就是：如果我们能把特征多边形进行适当的全等分割就能得到可以进行平面镶嵌的多边形。

如图3，正六边形是一个可以进行平面镶嵌特征多边形把它如图三等分，就可以得到可以进行平面镶嵌的五边形。如图4，是一个可以进行平面镶嵌特征多边形把它如图四等分就可以得到可以进行平面镶嵌的五边形。这是圣地亚哥的妇女玛乔里•赖斯1977年找到的。

如果允许有一组对边平行可以进行平面镶嵌的图形就太多了木工师傅就是把这种木料一块一块拼成大木板的。

初二数学论文

初中生数学小论文 图形的镶嵌 内容提要：我们能发现在多边形的镶嵌中，有些图案中正多边形的顶点在另一个正多边形的边上，如图1所示.这种情况比较简单，我们不作讨论.在以下讨论中，限定镶嵌的正多边形的顶点不落在另一个正多边形的边上，因而，正多边形的边必与另一正多边形的边重合.于是，镶嵌的正多边形的边长都相等.先讨论第一个问题.剪一些正三角形，正方形，正五边形，正六边形，正七边形，试着作镶嵌. 关键词：1，镶嵌——用形状相同或不同的平面封闭图形把一块平面既无缝隙又不重叠的全部覆盖叫平面镶嵌。

2，正多边形——所有边长相等的图形。 3，正则镶嵌（Regular Tessellations ）——只使用一种正多边形的镶嵌. 正则镶嵌只有3种：即用正三角形、正方形和正六边形来镶嵌。

原文标题：作文数学小论文初中生数学小论文 图形的镶嵌[吾爱教育www.isud.com.cn] 原文网址： http://www.isud.com.cn/show.asp?soft_id=18264 《勾股定理的证明方法探究》 勾股定理又叫毕氏定理：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。 据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！又据记载，现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明！ 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。

也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。

实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。

勾股定理的证明：在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。 首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。

1.中国方法：画两个边长为（a+b）的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。

左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。

左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。

于是 a^2+b^2=c^2。 这就是我们几何教科书中所介绍的方法。

既直观又简单，任何人都看得懂。 2.希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形，如图。

容易看出， △ABA' ≌△AA'C 。 过C向A''B''引垂线，交AB于C'，交A''B''于C''。

△ABA'与正方形ACDA'同底等高，前者面积为后者面积的一半，△AA''C与矩形AA''C''C'同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA'≌△AA''C，知正方形ACDA'的面积等于矩形AA''C''C'的面积。

同理可得正方形BB'EC的面积等于矩形B''BC'C''的面积。 于是， S正方形AA''B''B=S正方形ACDA'+S正方形BB'EC， 即 a2+b2=c2。

至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。

这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。 以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念： ⑴ 全等形的面积相等； ⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。

这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。 我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。

采用的是割补法： 如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。

赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。 西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。

据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。

遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。 下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。

如图， S梯形ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)， ① 又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)。 ② 比较以上二式，便得 a2+b2=c2。

这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。

5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。