矩阵的运算总结

1.矩阵的运算

一维数组相当于向量，二维数组相当于矩阵.所以矩阵是数组的子集数组运算是指数组对应元素之间的运算，也称点运算.矩阵的乘法、乘方和除法有特殊的数学含义，并不是数组对应元素的运算，所以数组乘法、乘方和除法的运算符前特别加了一个点。

矩阵是一个二维数组，所以矩阵的加、减、数乘等运算与数组运算是一致的。但有两点要注意：（1）对于乘法、乘方和除法等三种运算，矩阵运算与数组运算的运算符及含义都不同：矩阵运算按线性变换定义，使用通常符号；数组运算按对应元素运算定义，使用点运算符；（2）数与矩阵加减、矩阵除法在数学是没有意义的，在MATLAB中为简便起见，定义了这两类运算数组运算：转置 A.' 非共轭转置，相当于（conj(A')）数组加与减 A+B与A-B 对应元素之间加减数乘数组 k.*A或A.*k k乘A的每个元素数与数组加减 k+A与k-A k加（减）A的每个元素数组乘数组 A.*B 数组乘方 A.^k A的每个元素进行k次方运算 k.^A 以k底的，分别以A的元素为指数求幂值数除以数组 k./A和A.k k分别被B的元素除数组除法左除A.B右除B./A 矩阵运算：矩阵转置 A' 共轭转置加减 A+B A-B 数乘矩阵 k*A或A*k 上三项同数组运算矩阵乘法 A*B 按数学定义的矩阵乘法规则矩阵乘方 A^k k个矩阵A相乘数与矩阵加减 k+A与k-A 等价于k*ones(size(A))+-A 矩阵除法左除AB，右除B/A 分别为AX=B和XA=B的解。

2.行列式的计算方法总结

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例文一：行列式的计算方法介绍7种常用方法1三角化方法：通过行列初等变换将行列式化为三角型行列式.例1计算n+1阶行列式2把某一行（列）尽可能化为零例2计算：3递归法（数学归纳法）：设法找出Dn和低级行列式间的关系，然后进行递归.例4证明：例5证明范德蒙行列式（n2）4加边法：对行列式Dn添上一适当行和列，构成行列式Dn+1，且Dn+1=Dn例6证明：5拆分法：将行列式表为行列式的和的方法.即如果行列式的某行（或列）元素均为两项和，则可拆分为两个行列式之和例7设abcd=1，求证：6利用行列式的乘积：为求一个行列式D的值，有时可再乘上一个适当的行列式；或把D拆分为两个行列式的积.例8(1)(2)设Sk=1k+2k++nk(k=1,2…)，求证：7利用拉普拉斯定理求行列式的值.拉普拉斯定理是行列式按某一行（或列）展开定理的推广.定义（1）在n阶行列式D中，任取k行k列（1kn），位于这k行k列交叉处的k2个元素按原来的相对位置组成的k阶行列式S，称为D的一个k阶子式.如：D=则D的一个2阶子式为：S=在一个n阶行列式中，任取k行，由此产生的k阶子式有个.（2）设S为D的一个k阶子式，划去S所在的k行k列，余下的元素按原来的相对位置组成的n-k阶行列式M称为S的余子式.又设S的各行位于D中的第i1,i2…ik行，S的各列位于D中的第j1,j2…jk列，称A=(-1)(i1+i2+…+ik)+(j1+j2+…+jk)M.如：则D的一个2阶子式为：S=M=为S的2阶子式M=(-1)(1+3)+(1+3)为

3.矩阵运算是什么

矩阵运算是指矩阵A，一个m行n列的矩阵（共有m*n个元素），与其他的数字或者其他的矩阵进行运算。常见的求矩阵的逆、矩阵特征值和特征向量。矩阵乘法，增广矩阵。关于矩阵，请参考书本《矩阵论》，华中科技大学出版社，杨明老师著的《矩阵论》讲的特别好。三维变换是指将一个三维向量比如向量a=(1,2,3)，通过一定的转换和变换成为一个新的三维向量b。可以把三维向量看作是1*3的矩阵，即1行3列的矩阵，那么三维变换也就是矩阵运算的特殊情况。这个特殊的矩阵运算的输入是一个1*3的矩阵，输出也是1*3的矩阵。

事实上，正常情况下，不会有人把向量叫做矩阵，因为向量是比较特殊的矩阵，可以概括道更细的更精确的分类向量，大部分就把向量叫向量，不叫矩阵。

因此，三维变换实质是矩阵运算，只是不那么叫而已；但矩阵运算不是三维变换。

该图代表一个3*3的矩阵，里面的每个字符的位置应该是一个数字。

总结来说：三维变换是将（a,b,c）变成（c,d,e）（每个字母处代表一个数字）

而矩阵运算的范围很广，只要参与运算的有个矩阵就称矩阵运算。矩阵就是一个由若干行若干列组成的数字集合。比如，图上显示的就是3*3矩阵。

4.关系矩阵的运算

§2 矩阵的运算现在来定义矩阵的运算，它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系.下面要定义矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置.为了确定起见，我们取定一个数域，以下所讨论的矩阵全是由数域中的数组成的.1. 加法定义1 设，是两个矩阵，则矩阵称为和的和，记为.矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加.当然，相加的矩阵必须要有相同的行数和列数.由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法，也就是数的加法，所以不难验证，它有结合律：；交换律： .元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为，在不致引起含混的时候，可简单地记为 .显然，对所有的，.矩阵称为矩阵的负矩阵，记为 .显然有矩阵的减法定义为例如在§1我们看到，某一种物资如果有个产地，个销地，那么一个调动方案就可表示为一个矩阵.矩阵中的元素表示由产地要运到销地的这个物资的数量，比如说吨数.如果从这些产地还有另一个物资要运到这些销地，那么，这种物资的调动方案也可以表示为一个矩阵.于是从产地到销地的总的运输量也可以表示为一个矩阵.显然，这个矩阵就等于上面两个矩阵的和.根据矩阵加法的定义，应用关于向量组的秩的性质，很容易看出：秩（ + ）≤ 秩（）+秩（）2. 乘法在给出乘法定义之前，先看一个引出矩阵问题.设和是两组变量，它们之间的关系为（1）又如是第三组变量，它们与的关系为（2）由（1）与（2）不难看出与的关系：. （3）如果我们用（4）来表示与的关系，比较（3）,(4)，就有. （5）用矩阵的表示法，我们可以说，如果矩阵分别表示变量与以及与之间的关系，那么表示与之间的关系的矩阵就由公式（5）决定.矩阵称为矩阵与的乘积，记为一般地，我们有：定义2 设，那么矩阵，其中，（6）称为矩阵与的乘积，记为.由矩阵乘法的定义可以看出，矩阵与的乘积的第行第列的元素等于第一个矩阵的第行与第二个矩阵的第列的对应元素的乘积的和.当然，在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等.例1 设，那么例2 如果是一线性方程组的系数矩阵，而分别是未知量和常数项所成的和矩阵，那么线性方程组就可以写成矩阵的等式.例3 在空间中作一坐标系的转轴.设由坐标系到的坐标变换的矩阵为如果令，那么坐标变换的公式可以写成.如果再作一次坐标系的转轴，设由第二个坐标系到第三个坐标系的坐标变换公式为，其中.那么不难看出，由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为.矩阵的乘法适合结合律.设则.但是矩阵的乘法不适合交换律，即一般说来.例如，设，而.由这个例子我们还可看出，两个不为零的矩阵的乘积可以是零，这是矩阵乘法的一个特点.由此还可得出矩阵消去律不成立.即当时，不一定有 .定义3 主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的矩阵称为级单位矩阵，记为，或者在不致引起含混的时候简单写为 .显然有，.矩阵的乘法和加法还适合分配律，即，（9）. (10)应该指出，由于矩阵的适合交换律，所以（9）与（10）是两条不同的规律.我们还可以定义矩阵的方幂.设是一矩阵，定义换句话说，就是个连乘.当然只能对行数与列数相等的矩阵来定义.由乘法的结合律，不难证明，.这里是任意正整数.因为矩阵乘法不适合交换律，所以与一般不相等.3. 数量乘法. 定义4 矩阵称为矩阵与数的数量乘积，记为 .换句话说，用数乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上 .数量乘积适合以下的规律：，（11）, (12), (13), (14). (15)矩阵通常称为数量矩阵.作为（15）的特殊情形，如果是一矩阵，那么有.这个式子说明，数量矩阵与所有的矩阵作乘法是可交换的.可以证明：如果一个级矩阵与所有级矩阵作乘法是可交换的，那么这个矩阵一定是数量矩阵.再有，，这就是说，数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法.4. 转置把一矩阵的行列互换，所得到的矩阵称为的转置，记为 .可确切地定义如下：定义5 设，所谓的转置就是指矩阵.显然，矩阵的转置是矩阵.矩阵的转置适合以下的规律：，（16）, (17), (18). (19)(16)表示两次转置就还原，这是显然的.例4 设求 .求 .。