1.高手总结总结一下二重积分,三重积分,还有曲线积分,曲面积分它们

我之前回答过，也有一份存档。

满意请采纳，都是自己的经验。我从头说起吧，从基本的一元积分说到第二类曲面积分。

关于重积分的算法：一重积分（定积分）：只有一个自变量y = f(x) 当被积函数为1时，就是直线的长度（自由度较大） ∫（a→b） dx = L（直线长度） 被积函数不为1时，就是图形的面积（规则） ∫（a→b） f(x) dx = A（平面面积） 另外，定积分也可以求规则的旋转体体积，分别是 盘旋法（Disc Method）:V = π∫（a→b） f²（x） dx 圆壳法（Shell Method）:V = 2π∫（a→b） xf(x) dx 计算方法有换元积分法，极坐标法等，定积分接触得多，不详说了 ∫（α→β） （1/2）[A（θ）]² dθ = A（极坐标下的平面面积） 二重积分：有两个自变量z = f(x,y) 当被积函数为1时，就是面积（自由度较大） ∫（a→b） ∫（c→d） dxdy = A（平面面积） 当被积函数不为1时，就是图形的体积（规则）、和旋转体体积 ∫（a→b） ∫（c→d） dxdy = V（旋转体体积） 计算方法有直角坐标法、极坐标法、雅可比换元法等 极坐标变换：{ x = rcosθ { y = rsinθ { α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π ∫（α→β） ∫（h→k） f(rcosθ，rsinθ) r drdθ 三重积分：有三个自变量u = f(x,y,z) 被积函数为1时，就是体积、旋转体体积（自由度最大） ∫（a→b） ∫（c→d） ∫（e→f） dxdydz = V（旋转体体积） 当被积函数不为1时，就没有几何意义了，有物理意义等 计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球面坐标法、雅可比换元法等 极坐标变化（切片法）：{ x = rcosθ { y = rsinθ { z = z { a ≤ z ≤ b { 0 ≤ r ≤ z₁ { α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ π ∫（a→b） ∫（α→β） ∫（0→z₁） f(rcosθ，rsinθ，z) r drdθdz 特别地，当f(x,y,z)可表达为f(z)时、有∫∫∫Ω dxdydz = ∫（a→b） f(z) [∫∫Dz dxdy] dz = ∫（a→b） f(z)（横截面Dz的面积） dz 横截面Dz的面积的表达式是关于z的函数。极坐标变化（柱坐标）：{ x = rcosθ { y = rsinθ { z = z { h ≤ r ≤ k { α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π ∫（α→β） ∫（h→k） ∫（z₁→z₂） f(rcosθ，rsinθ，z) r dzdrdθ 极坐标变化（球坐标）：{ x = rsinφcosθ { y = rsinφsinθ { z = rcosφ { h ≤ r ≤ k { a ≤ φ ≤ b、最大范围：0 ≤ φ ≤ π { α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π ∫（α→β） ∫（a→b） ∫（h→k） f(rsinφcosθ，rsinφsinθ，rcosφ) r²sin²φ drdφdθ 重积分都可以利用对称性来化简：对于一重积分：若被积函数关于y轴对称。

则∫（- a→a） f(x) dx = {0，若f(x)关于x是奇函数 {2∫（- a→a） f(x) dx，若f(x)关于x是偶函数 若被积函数关于x轴对称。则∫（- b→b） f(y) dy = {0，若f(y)关于y是奇函数 {2∫（- b→b） f(y) dy，若f(y)关于y是偶函数 对于二重积分：若被积函数关于y轴对称。

则∫∫D f(x,y) dxdy = {0，若f(x,y)关于x是奇函数 {2∫∫D₁ f(x,y) dxdy，若f(x,y)关于x是偶函数，D₁是第一挂限 若被积函数关于x轴对称。则∫∫D f(x,y) dxdy = {0，若f(x,y)关于y是奇函数 {2∫∫D₁ f(x,y) dxdy，若f(x,y)关于y是偶函数，D₁是第一挂限 特别地，当积分区域是关于两个坐标轴都对称时。

而被积函数也是偶函数。则有∫∫D x² dxdy = ∫∫D y² dxdy = (1/2)∫∫D (x² + y²) dxdy 对于三重积分：若积分域Ω关于zox面对称。

则∫∫∫Ω f(x,y,z) dxdydz = {0，若f(x,y,z)关于x是奇函数 {2∫∫Ω₁ f(x,y,z) dxdydz，若f(x,y,z)关于x是偶函数，Ω₁是第一挂限 若积分域Ω关于yoz面对称。则∫∫∫Ω f(x,y,z) dxdydz = {0，若f(x,y,z)关于y是奇函数 {2∫∫Ω₁ f(x,y,z) dxdydz，若f(x,y,z)关于y是偶函数，Ω₁是第一挂限 若积分域Ω关于xoy面对称。

则∫∫∫Ω f(x,y,z) dxdydz = {0，若f(x,y,z)关于z是奇函数 {2∫∫Ω₁ f(x,y,z) dxdydz，若f(x,y,z)关于z是偶函数，Ω₁是第一挂限 特别地，当积分区域是关于三个坐标轴都对称时。而被积函数也是偶函数。

则有∫∫∫Ω x² dV = ∫∫∫Ω y² dV = ∫∫∫Ω z² dV = (1/3)∫∫∫Ω （x² + y² + z²） dV 所以越上一级，能求得的空间范围也越自由，越广泛，但也越复杂，越棘手，而 且限制比上面两个都少，对空间想象力提高了。重积分能化为几次定积分，每个定积分能控制不同的伸展方向。

又比如说，在a ≤ x ≤ b里由f(x)和g(x)围成的面积，其中f(x) > g(x) 用定积分求的面积公式是∫（a→b） [f(x) - g(x)] dx 但是升级的二重积分，面积公式就是∫（a→b） dx ∫（g(x)→f(x)) dx、被积函数变为1了 用不同积分层次计算由z = x² + y²、z = a²围成的体积？一重积分（定积分）：向zox面投影，得z = x²、令z = a² --> x = ± a、采用圆壳法 V = 2πrh = 2π∫（0→a） xz dx = 2π∫（0→a） x³ dx = 2π • （1/4）[ x⁴ ] |（0→a） = πa⁴/2 二重积分：高为a、将z = x² + y²向xoy面投影得x² + y² = a² 所以就是求∫∫（D） (x² + y²) dxdy、其中D是x² + y² = a² V = ∫∫（D） (x² + y²) dxdy = ∫（0→2π） dθ ∫（0→a） r³ dr、这步你会发觉步骤跟一重定积分一样的= 2π • （1/4）[ r⁴ ] |（0→a） = πa⁴/2 三重积分：旋转体体积，被积函数是1，直接求可以了 柱坐标切片法：Dz:x² + y² = z V = ∫∫∫（Ω） dxdydz= ∫（0→a²） dz ∫∫Dz dxdy= ∫（0→a²） πz dz= π • [ z²/2 ] |(0→a²)= πa⁴/2 柱坐标投影法：Dxy:x² + y² = a² V = ∫∫∫（Ω） dxdydz= ∫（0→2π） dθ ∫（0→a） r dr ∫（r²→a²） dz= 2π • ∫（0→a） r • （a² - r²） dr= 2π • [ a²r²/2 - (1/4)r⁴ ] |（0→a）= 2π • [ a⁴/2 - (1/4)a⁴ ]= πa⁴/2 三重积分求体积时能用的方法较多，就是所说的高自由度。关于曲线积分和曲面积分的算法：如果再学下去的话，。

2.关于曲线曲面积分的学习方法

首先仔仔细细的看一下那四类积分，把那些积分公式写下来，然后尽量直观的理解一下，比如对坐标的曲线积分以及对弧长的曲线积分，前者可以理解为力的做功，后者理解为已知曲线密度，求曲线质量，这样有了理解之后对公式的记忆会有帮助的，要不然会很乱。

理解了公式之后，就可以运用一些对称性了，那些对称性的公式也要理解，并不是硬背的，什么关于x是偶函数，关于y是奇函数，积分是两倍还是为0这点也很重要，陈文登的书上面好像都总结了。然后理解公式以后就到教科书上找相应的例子巩固一下，同济第五版的高等数学，上面的例题很简单，并且也把知识点包含进去，所以是个很不错的教材。

第一是要理解公式，不要看到公式不知道什么含义，或者记不起公式，这就是前面说的按其物理含义直观去理解记牢。找一些相关题目做一做，同时在坐标的曲线积分和坐标的曲面积分中，特别要注意你所考虑的曲线或曲面的方向。曲面一般是朝Z轴方向为正，即与Z轴的正方向夹角小于90度时为正，反之为负。找一些典型题目做一做，自己也总结一下，如果积分区域是对称的话，尽量考虑应用对称性。

设Σ为光滑曲面，函数f(x,y,z)在Σ上有定义，把Σ任意地分成n个小曲面Si，其面积设为ΔSi，在每个小曲面Si上任取一点（Xi,Yi,Zi） 作乘积f(Xi,Yi,Zi)ΔSi，并求和Σf(Xi,Yi,Zi)ΔSi，记λ=max（ΔSi的直径） ， 若Σf(Xi,Yi,Zi)ΔSi当λ→0时的极限存在，且极限值与Σ的分法及取点（Xi,Yi,Zi）无关，则称极限值为f(x,y,z)在Σ上对面积的曲面积分，也叫做第一类曲面积分。即为∫∫f(x,y,z)dS；其中f(x,y,z)叫做被积函数，Σ叫做积分曲面，dS叫做面积微元。

3.关于曲线曲面积分的学习方法

我也从考研路上过来，也深有体会，不过大概的方法还是知道一些，希望我说的对你有所帮助。

首先仔仔细细的看一下那四类积分，把那些积分公式写下来，然后尽量直观的理解一下，比如对坐标的曲线积分以及对弧长的曲线积分，你要明白什么意思，前者可以理解为力的做功，后者理解为已知曲线密度，求曲线质量，这样有了理解之后对公式的记忆会有帮助的，要不然会很乱。理解了公式之后，就可以运用一些对称性了，那些对称性的公式也要理解，并不是硬背的，什么关于x是偶函数，关于y是奇函数，积分是两倍还是为0这点也很重要，我用的是陈文登的书，上面好像都总结了，别的书我不知道。然后理解公式以后就到教科书上找相应的例子巩固一下，我用的是同济第五版的高等数学，上面的例题很简单，并且也把知识点包含进去，所以是个很不错的教材。

我觉得第一是你要理解公式，不要看到公式不知道什么含义，或者问你了你却记不起公式，这就是前面说的按其物理含义直观去理解记牢。找一些相关题目做一做，同时在坐标的曲线积分和坐标的曲面积分中，特别要注意你所考虑的曲线或曲面的方向。曲面一般是朝Z轴方向为正，即与Z轴的正方向夹角小于90度时为正，反之为负。找一些典型题目做一做，自己也总结一下，如果积分区域是对称的话，尽量考虑应用对称性。

说了那么多，希望我说的对你有所帮助，祝你考研成功！！！还有什么问题，你也可以单独问我，也许我还能给你一些帮助……