1.排列与组合的归纳总结（有不同例题讲解）

同步教学

主讲人：黄冈中学教师 李新潮

一、一周知识概述

本周复习内容是高二数学（下）第十章——排列、组合和概率的前半部分内容.排列与组合是重点，也是难点，复习中用时较多.

二、重、难点知识的归纳与剖析

（一）、本周学习的重点

1、掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.

2、理解排列的意义，掌握排列计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.

3、理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.

4、掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.

（二）、本周学习的难点

1、排列与组合的综合应用

(1)相邻问题——捆绑法；

(2)不相邻问题——插空法；

(3)元素比较少而限制条件较多的问题——枚举归纳法；

(4)先组合，后排列，其求解的基本思路是先选元，后排列，或先局部，后整体；

(5)分类讨论要注重一类，照应全局.

2、正确理解二项式的展开式特征及指数、项数、项、系数、二项式系数，能熟练顺用、逆用，并注意

变用二项式定理.

三、例题点评

例1、某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？

分析：

由于张数不限，2张2,3张A可以一起出，亦可分几次出，可以考虑按此分类.

解答：

出牌的方法可分为以下几类：

(1)5张牌全部分开出，有种方法；

(2)2张2一起出，3张A一起出，有种方法；

(3)2张2一起出，3张A分开出，有种方法；

(4)2张2一起出，3张A分两次出，有种方法；

(5)2张2分开出，3张A一起出，有种方法；

(6)2张2分开出，3张A分两次出，有种方法.

因此，共有不同的出牌方法

=860种.

点评：

全面细致地分类是解决本题的关键，若按出牌次数分类，方法数为：

=860种.

例2、二次函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c在集合{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中选取3个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条？

分析：

先将坐标原点在抛物线内部的特征性质等价转化为 a,b,c的限制，再去确定满足条件的数对（a,b,c）.

解答：

由图形特征分析：a>0，开口向上，坐标原点在内部，开口向下，原点在内部，所以对于抛物线y=ax2+bx+c来讲，原点在其内部，则确定抛物线时，可先定一正一负的a和c，再确定b，故满足题设的抛物线共有=144条.

点评：

这是一首排列、组合与解析几何的综合题，等价的将图形性质转化为数量关系是解决问题的基础和关键.

例3、若在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.

分析：抓住展开式的通项公式是解决问题的关键.

解答：

的展开式中前三项是：

其系数分别是：

由

解之得n=1或n=8,n=1不合题意应舍去，故n=8.

当n=8时，

Tr+1为有理项式的充要条件是，

所以r应是4的倍数，故r可为0、4、8.故所有有理项为

点评：要注意“系数”与“二项式系数”的区别.

实在看不懂去参考资料看看

2.排列组合应用问题方法总结

捆绑法：当要求某几个元素必须相邻（挨着）时，先将这几个元素看做一个整体，（比如：原来3个元素，整体考虑之后看成1个元素）然后将这个整体和其它元素进行考虑。

这时要注意：一般整体内部各元素如果在前后顺序上有区别的还需进行一定的顺序考虑。插空法：当要求某几个元素必须不相邻（挨着）时，可先将其它元素排好，然后再将要求不相邻的元素根据题目要求插入到已排好的元素的空隙或两端位置。

插隔板法：指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比分组数目少1的隔板插入到元素中的一种解题策略。题目特点：“若干相同元素分组”、“ 每组至少一个元素”。

例1(08-57)一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？A。 20 B。

12 C。6 D。

4分两种情况考虑1、这两个新节目挨着，那么三个节目有4个空，又考虑到这两个节目的先后顺序共有2*C41=8种2、这两个节目不挨着，那么三个节目有4个空，这就相当于考虑两个数在4个位置的排列，由P42=4*3=12种综上得，共8 12=20种 此题中使用了捆绑法和插空法。 例2:A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站一起，共有（ ）种站法。

A。120 B。

72 C。48 D。

24选B 插空法我们来这样考虑，因A、B两人不站一起，故可考虑的位置C、D、E,C、D、E三个人站在那有一共留出4个空，将A、B分别放入这4个空的不同的空中，那就是4个空中取2个空的全排列，即P42=12。 这样考虑了之后，还有一点就是C、D、E三个人也存在一个排列问题，即P33=6，综上，共有6*12=72种例3:A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人必须站一起，共有（ ）种站法。

A。120 B。

72 C。48 D。

24选C 捆绑法此题和上一题实质是一样的，我们来这样考虑，A、B两人既然必须站在一起，那么索性我们就把他们看成一个人，那么我们就要考虑其和C、D、E共4个人的全排列，即P44=24，又因为A、B两人虽然是站在一起了，但还要考虑一个谁在前谁在后的问题，这有两种情况，也就是P22=2，综上，共有48种。 例4：将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？A。

20 B。21 C。

23 D。24选B 插隔板法解决这道题只需将8个球分成三组，然后依次将每一个组分别放到一个盒子中即可。

8个球分成3个组可以这样，用2个隔板插到这8个球中，这样就分成了3个组。这时我们考虑的问题就转化成了我们在8个球的空隙中放2个隔板有多少种放法的问题。

8个球有7个空隙，7个空隙要放2个隔板，就有C72种放法，即21种。例5：有9颗相同的糖，每天至少吃1颗，要4天吃完，有多少种吃法？A。

20 B。36 C。

45 D。56选D 插隔板法原理同上，只需用3个隔板放到9颗糖形成的8个空隙中，即可分成4天要吃的。

就有C83种。C83=56种。

3.数学排列组合求好的共识总结

很高兴为您解决问题。

排列组合问题属于高中数学较为复杂的知识。要想熟练掌握除了要将教材中的定义概念弄懂吃透外，重要的是做题，并在做题中寻找规律。

做排列组合的题目是一定要审准题目，使用排列还是组合，或者是综合运用。是排列还是组合的关键点在是否“有序”。有序即为排列，无序（随机排列，不要求顺序）即为组合。

学好数学没有捷径，只有努力和刻苦，外加一个善于总结的头脑。

希望我的回答对你在学习上起一定的作用。：-D

4.排列组合公式

举个例子：

1,2,3,4,C(4.2)表示4个数字中选2个，不考虑顺序

C(4.2)=4*3/1*2=6.

1,2,3,4,A(4.2)表示4个数字中选2个，考虑顺序.

A(4.2)=4*3=12.

我只拿这个东西算过双色球，其他地方还没发现能用上.

C(M.N)=M*(M-1)(M-2)……（M-N）/1*2*3……*N (M为下标，N为上标)

A(M.N)=M*(M-1)(M-2)……（M-N） (M为下标，N为上标)

排列、组合、二项式定理公式口诀：

加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。

两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。

排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。

不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。

关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。

5.排列组合的例题分析

⑴从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；⑵限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词（特别是逻辑关联词和量词）准确理解；⑶计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；⑷计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。

【例1】 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有多少个？分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c，可知b由a,c决定，又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：分别从1,3,5，……，19或2,4,6,8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，A(10,2)*2=90*2，因而本题为180。

【例2】 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法？分析：对实际背景的分析可以逐层深入：（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步；（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法；（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右；从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数。∴ 本题答案为：C(8,3)=56。

分析是分类还是分步，是排列还是组合注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合。【例3】在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A,B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A,B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种？分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。

第一类：A在第一垄，B有3种选择；第二类：A在第二垄，B有2种选择；第三类：A在第三垄，B有1种选择，同理A、B位置互换 ，共12种。【例4】从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有多少种？（A）240 (B)180 (C)120 (D)60分析：显然本题应分步解决。

（一）从6双中选出一双同色的手套，有6种方法；（二）从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法。（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法；（四）由于选取与顺序无关，因（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。

或分步⑴从6双中选出一双同色的手套，有C(6,1)=6种方法⑵从剩下的5双手套中任选两双，有C(5,2)=10种方法⑶从两双中手套中分别拿两只手套，有C(2,1)*C(2,1)=4种方法。同样得出共⑴*⑵*⑶=240种。

【例5】.身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)=90种。

【例6】在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法？分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。

以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。第一类：这两个人都去当钳工，C(2,2)*C(5,2)*C(4,4)=10种；第二类：这两个人都去当车工，C(5,4)*C(2,2)*C(4,2)=30种；第三类：这两人既不去当钳工，也不去当车工C(5,4)*C(4,4)=5种。

第四类：这两个人一个去当钳工、一个去当车工，C(2,1)*C(5,3)*C(4,3)=80种；第五类：这两个人一个去当钳工、另一个不去当车工，C(2,1)*C(5,3)*C(4,4)=20种；第六类：这两个人一个去当车工、另一个不去当钳工，C(5,4)*C(2,1)*C(4,3)=40种；因而共有185种。【例7】现有印着0,1,3,5,7,9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数？分析：有同学认为只要把0,1,3,5,7,9的排法数乘以2即为所求，但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。

抽出的三数含0，含9，有32种方法；抽出的三数含0不含9，有24种方法；抽出的三数含9不含0，有72种方法；抽出的三数不含9也不含0，有24种方法。因此共有32+24+72+24=152种方法。

【例8】停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法有多少种？分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有A(9,9)=362880种停车方法。 特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。

【例9】六人站成一排，求⑴甲、乙既不在排头也不在排尾的排法数⑵甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数分析：⑴按照先排出首位和末尾再排中间四位分步计数第一步：排出首位和末尾、因为甲乙不在首位和末尾，那么首位和末尾实在其它。