【求数列知识点总结】

3.等差数列的基本性质⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d.⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd.⑶若{ a }、{ b }为等差数列，则{ a ±b }与{ka +b}(k、b为非零常数)也是等差数列.⑷对任何m、n ，在等差数列{ a }中有：a = a + (n-m)d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性.⑸、一般地，如果l,k,p，…，m,n,r，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当{a }为等差数列时，有：a + a + a + … = a + a + a + … .⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差).⑺如果{ a }是等差数列，公差为d，那么，a ,a ，…，a 、a 也是等差数列，其公差为-d；在等差数列{ a }中，a -a = a -a = md .（其中m、k、 ）⑻在等差数列中，从第一项起，每一项（有穷数列末项除外）都是它前后两项的等差中项.⑼当公差d>0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当dm），则S = (a-b).⑹等差数列{a }中， 是n的一次函数，且点（n， ）均在直线y = x + (a - )上.⑺记等差数列{a }的前n项和为S .①若a >0，公差d0，则当a ≤0且a ≥0时，S 最小.3.等比数列的基本性质⑴公比为q的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q ( m为等距离的项数之差).⑵对任何m、n ，在等比数列{ a }中有：a = a · q ，特别地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性.⑶一般地，如果t ,k,p，…，m,n,r，…皆为自然数，且t + k,p，…，m + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当{a }为等比数列时，有：a .a .a .… = a .a .a .… ..⑷若{ a }是公比为q的等比数列，则{| a |}、{a }、{ka }、{ }也是等比数列，其公比分别为| q |}、{q }、{q}、{ }.⑸如果{ a }是等比数列，公比为q，那么，a ,a ,a ，…，a ，…是以q 为公比的等比数列.⑹如果{ a }是等比数列，那么对任意在n ，都有a ·a = a ·q >0.⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积.⑻当q>1且a >0或00且01时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当q。

谁能帮我把数列的公式归纳一下有哪些

等比数列 （1）等比数列：An+1/An=q, n为自然数。

（2）通项公式：An=A1*q^(n-1)； 推广式： An=Am·q^(n-m); (3)求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=[A1(1-q)^n]/(1-q) (4)性质： ①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am·an=ap*aq； ②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. （5）“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”. (6)在等比数列中，首项A1与公比q都不为零. 注意：上述公式中A^n表示A的n次方 等差数列 an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d m+n=k+l am+an=al+ak 求和 Sn=(a1+an)n/2=a1n+n(n-1)d/2。

高中数学数列总结

教学课题： 数列的求和 备课人：王德固 教学目的：小结数列求和的常用方法，尤其是要求学生初步掌握用公式法、分组结合法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法求解一些特殊的数列； 教学前的准备： （1） 基本公式： ① 等差数列的前n项和公式 ； ② 等比数列的前n项和公式 （2） 特殊数列求和---常用数列前n项和（记忆） 教学过程： 对于非等差数列、等比数列的特殊数列，求其前n项和的一般方法是：先求数列的通项公式，再分析数列通项公式结构的特征，然后转化为等差数列、等比数列求和或采用消项的方法求和。

知识点1：公式法（若问题可转化为等差、等比数列，则直接利用求和公式即可） 知识点2： 分组结合法（分组求和法、拆项法） 若数列 的通项公式为 ，其中 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。 知识点3：裂项相消法 （裂项法） 如果一个数列的每一项都能化为两项之差，并且前一项的减数恰与后一项的被减数相同，求和时中间项相互抵消，这种数列求和的方法就是裂项相消法； 知识点4：错位相减法 若数列 的通项公式为 ，其中 ， 中有一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比 ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。

知识点5：倒序相加法 倒序相加法是推导等差数列前n项和公式的一种方法，在今后学习“排列、组合、二项式定理”一章中还会应用到，这里不加说明。 小结：特殊数列求和的几种常用方法的说明和应用；。

高中数学总结数列部分请给列个提纲谢谢

数列综合 数列作为特殊的函数，在很多问题上的解决方法都与函数相似.比如，在分析数列性质时，往往都要从数列中每一项的下标分析入手，这一点，与解决函数问题时要从对自变量的分析入手一样.函数与方程及不等式有着密切的联系，所以，数列问题又可与方程和不等式相结合.因此，在解决数列问题时，要注意重在方法上与函数、方程、不等式相类比，同时也充分关注到数列本身的一些特殊性质. 1.已知是关于的一次函数，是关于的二次函数，的图象是开口向下，对称轴为的抛物线，数列满足，而恰为数列的前项和. （1）证明为等差数列，说明首项a1与公差d的符号； （2）求出满足的最大正整数，判断此时与的大小，并说明理由； （3）当a1=21时，求出与的解析式. 分析：本题考查等差数列的定义，通项公式，前项和公式的应用，综合考查数列与函数的综合. 解析： （1）设， ∴， ∴（常数） ∴是公差为k的等差数列. ∴ ∴， 又的图象开口向下，且对称轴为 ∴的公差d=k0,S12=6(a6+a1)0,a7a2>a3>…>a6>0>a7>a8>… 2.已知点是函数（a>0且a≠1）的图象上的一点，等比数列的前n项和为，数列（）的首项为c，且前n项和满足. （1）求数列和的通项公式； （2）若数列前n项和为，问的最小正整数n是多少？ 分析：本题考查数列知识的综合运用，与的关系，以及特殊数列求和及不等式的相关知识，解题过程中注重化归为基本问题. 解析： （1）∵，∴ ∴， ∵是等比数列，∴ ∴c=1且公比 ∴， ∵ ，∴且b1=S1=1 ∴是首项为1公差为1的等差数列 ∴（）， ∴当n≥2时 当n=1时b1=1=2*1-1 综上，（） （2） ∴ 由得 ∴满足的最小正整数n=112. 3.等比数列的前n项和为，已知对任意的n∈N+，点均在函数（b>0且b≠1,b,r均为常数）的图像上. （1）求r的值； （2）当b=2时，记（n∈N+），求数列的前n项和. 分析：本题考查与的关系，即由求，以及特殊数列求和. 解析： （1）由已知 ∴a1=S1=b+r,a2=S2-S1=b2-b,a3=S3-S2=b3-b2 ∵是等比数列，∴ ∴（b2―b）2=(b+r)(b3―b2)，化简得（1+r）(b-1)·b2=0 ∵b>0且b≠1，∴1+r=0,r=-1 (2)由（1）知 ∴a1=S1=1， ∴， ∴ ① ② ①-②： ∴ 反思：错位相减求和时注意运算. 4.曲线C:y=(x+a)3(a≠0)，以P0(0,a3)为切点，作曲线C的切线交x轴于Q1，过Q1作x轴的垂线交曲线C于P1(x1,y1)；以P1(x1,y1)为切点作曲线C的切线交x轴于Q2，过Q2作x轴的垂线交曲线C于P2(x2,y2)；如此继续下去，得到点列 （1）求与的关系（n≥2）; (2)求，的通项公式. 分析：本题考查导数，数列的相关知识的综合运用. 解析： （1） ∴过点的切线方程 其中 令y=0，∴ 若存在n0使，则当n0=0时，与已知矛盾！ ∴， ∴，∴ ∴ （2）且， ∴是首项为，公比为的等比数列 ∴，∴ 反思：注意题目中出现了形如的递推关系，可利用如下待定系数法求通项公式. 令 ，∴ ∴， ∴ ∴在时数列即为公比是p的等比数列. 5.已知曲线（n=1,2，…）.从点P(-1,0)向曲线引斜率为的切线，切点为. （1）求数列与的通项公式； （2）证明：. 分析：本题综合考查圆、函数、数列相关知识，包括圆的切线，不等式放缩，函数单调性，求函数最值等，注意化归，同时关注几何图形及方法应用. 解析： （1）圆，圆心，半径 ∴， ∴，即 由得 ∴，即 （2）， ∴ ∴ ∴ 又， 令，∴ 令得 对给定区间有，∴在单调递减 ∴，即 而当n≥1时2n+1≥3，∴ ∴即. 反思：本题（1）问充分关注了几何图形特征，利用平面几何知识求解，计算量小，第（2）问综合了数列单调性与函数单调性问题，注意方法的比较.课后练习 1.已知函数，M(x1,y1),N(x2,y2)是图象上的两点，横坐标为的点P满足（O为坐标原点）. （Ⅰ）求证：y1+y2为定值； （Ⅱ）若，其中n∈N*，且n≥2，求； （Ⅲ）已知，其中n∈N*，为数列的前n项和， 若对一切n∈N*都成立，试求m的取值范围. 2.已知数列的前n项和（n为正整数）. （Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式； （Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明.参考答案： 1.解析： （Ⅰ）证：由已知可得， ∴P是MN的中点，有x1+x2=1. ∴ （Ⅱ）由（Ⅰ）知当x1+x2=1时， ， ， 相加得 ∴ （Ⅲ）当n≥2时， . 又当n=1时， ∴. . 由于对一切n∈N*都成立， ∵，当且仅当n=2时，取“=”， ∴. 因此. 2.解析： （Ⅰ）在中， 令n=1，可得，即 当n≥2时，∴， ∴，即. ∵，∴， 即当n≥2时，. 又b1= 2a1=1，∴数列是首项和公差均为1的等差数列. 于是，∴. （Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以 由①-②得 ∴ 于是确定与的大小关系等价于比较与2n+1的大小 由2。

求高中数学数列的总结

{bn}(bn>0)是等比数列，则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列、求数列{an}的最大、最小项的方法：当q=1时，若m+n=p+q，则 16，有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解；四个数成等比的错误设法，Sn=n a1 （是关于n的正比例式）、倒数组成的数列{an bn}、 、 仍为等比数列。

20,an≠0)13、S3m-S2m;q3,a/q,aq,Sn= Sn= 三、有关等差，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0）,Sn=na1是关于n的正比例式。12。

21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。22、S4m - S3m:Sn= Sn= Sn= 当d≠0时、ak为已知的第k项） 当d≠0时。

26. 在等差数列 中、两个等比数列{an}与{bn}的积，d<0时，满足 的项数m使得 取最小值：a-3d,a-d，；四个数成等差的设法、ak为已知的第k项：如an=2n+3n 29: (1)当 >、等差数列{an}中：如an= 32：如an=(2n-1)2n30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)31，则 （c>0）是等比数列。25、等比数列的前n项和公式、商；0,a+d、{an}为等差数列；当q≠1时：a/倒序相加法（等差数列前n项和公式推导方法）错位相减法（等比数列前n项和公式推导方法）分组求和法拆项求和法叠加求和法数列求和关键是分析其通项公式的特点9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= 10、等比数列的结论14、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm，若m+n=p+q，则 17:(1)若项数为 ，则 （2）若数为 则， ，满足 的项数m使得 取最大值。

28、分组法求数列的和、S3m-S2m、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm,a+3d23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq.(2)当 <,a:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d （其中a1为首项，aq3 （为什么：① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② （an>0） 如an= ③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= 33、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列， 27. 在等比数列 中：（1） 若项数为 ，则 （2）若数为 则、等比数列{an}中、……仍为等差数列。15、……仍为等比数列。

18?)24、倒序相加法求和， 四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。11、等差数列的通项公式，a+d、错位相减法求和、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。

19;0:a-d、等差数列的前n项和公式、等比数列的通项公式、三个数成等差的设法。关键是找数列的通项结构、在等差数列 中，d>0时： an= a1 qn-1 an= ak qn-k （其中a1为首项、S4m - S3m。

【数列所涉及的公式总结是哪些呢

有等差数列和等比数列，其中有等差数列公式和求和公式，等比数列求和公式（1）等比数列的通项公式是：若通项公式变形为（n∈N*），当q>0时，则可把看作自变量n的函数，点（n，）是曲线上的一群孤立的点.（2） 任意两项，的关系为（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：，k∈{1,2，…，n}(4)等比中项：当r满足p+q=2r时，那么则有，即为与的等比中项.（5） 等比求和：①当q≠1时，或②当q=1时，记，则有另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列.在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.等差数列公式：an=a1+(n-1)d,(n为正整数)a1为首项，an为第n项的通项公式，d为公差.前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2,(n为正整数)Sn=n(a1+an)/2,(n为正整数)公差d=(an-a1)/(n-1),(n为正整数)若n、m、p、q均为正整数，若m+n=p+q时，则：存在am+an=ap+aq若m+n=2p时，则：am+an=2ap若A、B、C均为正整数，B为中项，B=(A+C)/2也可推导得Sn=na1+nd(n-1)/2如还有相关问题，可以加入格物教育qq群去相关提问，格物教育专为您解答数理化相关习题问题。

高中数列知识点有哪些

列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。题目中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

高中数学 总结数列

数列综合 数列作为特殊的函数，在很多问题上的解决方法都与函数相似。

比如，在分析数列性质时，往往都要从数列中每一项的下标分析入手，这一点，与解决函数问题时要从对自变量的分析入手一样。函数与方程及不等式有着密切的联系，所以，数列问题又可与方程和不等式相结合。

因此，在解决数列问题时，要注意重在方法上与函数、方程、不等式相类比，同时也充分关注到数列本身的一些特殊性质。 1.已知是关于的一次函数，是关于的二次函数，的图象是开口向下，对称轴为的抛物线，数列满足，而恰为数列的前项和。

（1）证明为等差数列，说明首项a1与公差d的符号； （2）求出满足的最大正整数，判断此时与的大小，并说明理由； （3）当a1=21时，求出与的解析式。 分析：本题考查等差数列的定义，通项公式，前项和公式的应用，综合考查数列与函数的综合。

解析： （1）设， ∴，， ∴（常数） ∴是公差为k的等差数列。 ∴ ∴， 又的图象开口向下，且对称轴为 ∴的公差d=k ∴ ∴ （2） 令 ∴，∴ ∵n∈N*，∴满足的最大正整数n=6。

∴ ∴ ，∴ （3），∴k=-4,b=25， ∴， 反思：对于第（2）问，可以结合二次函数性质及等差数列性质， 法二：∵开口向下，对称轴且由等数列前n项和公式可知 ∴图象与x轴交点横坐标为。 ∴S11= 11a6>0,S12=6(a6+a1) ∴a6>0,a7 ∴a1>a2>a3>…>a6>0>a7>a8>… 2.已知点是函数（a>0且a≠1）的图象上的一点，等比数列的前n项和为，数列（）的首项为c，且前n项和满足。

（1）求数列和的通项公式； （2）若数列前n项和为，问的最小正整数n是多少？ 分析：本题考查数列知识的综合运用，与的关系，以及特殊数列求和及不等式的相关知识，解题过程中注重化归为基本问题。 解析： （1）∵，∴ ∴，， ∵是等比数列，∴ ∴c=1且公比 ∴， ∵ ，，∴且b1=S1=1 ∴是首项为1公差为1的等差数列 ∴（）， ∴当n≥2时 当n=1时b1=1=2*1-1 综上，（） （2） ∴ 由得 ∴满足的最小正整数n=112。

3.等比数列的前n项和为，已知对任意的n∈N+，点均在函数（b>0且b≠1,b,r均为常数）的图像上。 （1）求r的值； （2）当b=2时，记（n∈N+），求数列的前n项和。

分析：本题考查与的关系，即由求，以及特殊数列求和。 解析： （1）由已知 ∴a1=S1=b+r,a2=S2-S1=b2-b,a3=S3-S2=b3-b2 ∵是等比数列，∴ ∴（b2―b）2=(b+r)(b3―b2)，化简得（1+r）(b-1)·b2=0 ∵b>0且b≠1，∴1+r=0,r=-1 (2)由（1）知 ∴a1=S1=1， ∴， ∴ ① ② ①-②： ∴ 反思：错位相减求和时注意运算。

4.曲线C:y=(x+a)3(a≠0)，以P0(0,a3)为切点，作曲线C的切线交x轴于Q1，过Q1作x轴的垂线交曲线C于P1(x1,y1)；以P1(x1,y1)为切点作曲线C的切线交x轴于Q2，过Q2作x轴的垂线交曲线C于P2(x2,y2)；如此继续下去，得到点列 （1）求与的关系（n≥2）; (2)求，的通项公式。 分析：本题考查导数，数列的相关知识的综合运用。

解析： （1） ∴过点的切线方程 其中 令y=0，∴ 若存在n0使，则当n0=0时，与已知矛盾！ ∴， ∴，∴ ∴ （2）且， ∴是首项为，公比为的等比数列 ∴，∴ 反思：注意题目中出现了形如的递推关系，可利用如下待定系数法求通项公式。 令 ，∴ ∴， ∴ ∴在时数列即为公比是p的等比数列。

5.已知曲线（n=1,2，…）。从点P(-1,0)向曲线引斜率为的切线，切点为。

（1）求数列与的通项公式； （2）证明：。 分析：本题综合考查圆、函数、数列相关知识，包括圆的切线，不等式放缩，函数单调性，求函数最值等，注意化归，同时关注几何图形及方法应用。

解析： （1）圆，圆心，半径 ∴，， ∴，即 由得 ∴，即 （2）， ∴ ∴ ∴ 又， 令，∴ 令得 对给定区间有，∴在单调递减 ∴，即 而当n≥1时2n+1≥3，∴ ∴即。 反思：本题（1）问充分关注了几何图形特征，利用平面几何知识求解，计算量小，第（2）问综合了数列单调性与函数单调性问题，注意方法的比较。

课后练习 1.已知函数，M(x1,y1),N(x2,y2)是图象上的两点，横坐标为的点P满足（O为坐标原点）。 （Ⅰ）求证：y1+y2为定值； （Ⅱ）若，其中n∈N*，且n≥2，求； （Ⅲ）已知，其中n∈N*，为数列的前n项和， 若对一切n∈N*都成立，试求m的取值范围。

2.已知数列的前n项和（n为正整数）。 （Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式； （Ⅱ）令，，试比较与的大小，并予以证明。

参考答案： 1.解析： （Ⅰ）证：由已知可得，， ∴P是MN的中点，有x1+x2=1。 ∴ （Ⅱ）由（Ⅰ）知当x1+x2=1时， ， ， 相加得∴ （Ⅲ）当n≥2时， 。

又当n=1时， ∴。 。

由于对一切n∈N*都成立， ∵，当且仅当n=2时，取“=”， ∴。 因此。

2.解析： （Ⅰ）在中， 令n=1，可得，即 当n≥2时，，∴， ∴，即。 ∵，∴， 即当n≥2时，。

又b1= 2a1=1，∴数列是首项和公差均为1的等差数列。 于是，∴。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以由①-②得 ∴ 于是确定与的大小关系等价于比较与2n+1的大小 由2 可猜想当n≥3时，。 证明如下： 证法1: (1)当n=3时，由上验算显示成立。

（2）假设当n=k(k≥3)时猜想也成立。 则当n=k+1时 所以当n=k+1时猜想也成立。

综合（1）(2)可知，对一切n≥3的正整数，都有。 证法2：当n≥3时 综上所述，当n=1,2时，，当n≥3时。